Ik zit hier bij een wiskundeolympiade training en ik heb letterlijk net bijna precies deze opgave gemaakt natuurlijk niet over magic kaarten maar met een of ander vreemd spel waarbij je munten op moet gooien.

Awesome! Ik heb een jaartje wiskunde gestudeerd, maar dat was in het vorige millenium en ik ben snel overgestapt naar informatica, dus ik ben blij dat jullie het opgelost hebben .

Inderdaad, zonder Krark's Thumb veranderen die vergelijkingen in:

x_76 = 1
x_n = x_(n-1)/2 + x_(n+1)/2 voor n = 2, 3, ..., 75
x_1 = x_2/2

Dat geeft op dezelfde manier als hieronder dat

c_n = 1/(2 - c_(n-1)), c_1 = 1/2.

Wat termen invullen geeft c_2 = 2/3, c_3 = 3/4, c_4 = 4/5 en dus inderdaad is met inductie erg simpel te bewijzen dat c_n = n/(n+1)

Nu is c_1 * c_2 * c_3 * ... * c_75 = 1/2 * 2/3 * 3/4 * ... * 75/76 = 1/76, een telescoopreeks

Dus het antwoord zonder Krark's Thumb is zelfs exact 1/76. Met Krark's Thumb is het verwaarloosbaar meer dan 2/3.

Kudo's voor je rekenwerk TheRobinros!

Ik had ook last van de vrijdagmiddag, maar ik heb als een informaticus die "kansberekening en statistieken" met een 6-je gehaald heeft het op mijn manier gedaan: de situatie programmeren, dat 1000000000 keer simuleren en vervolgens de gemiddelde kans berekenen Ik kwam bij benadering tot dezelfde conclusie.

De (verrassend) grote kans komt wel puur door Krark's Thumb. Ik heb de simulatie ook gedaan zonder de thumb, en dan kelderen je kansen van 2/3 naar een getal in de buurt van 1/76

Ah juist. Ik had hem wel correct uitgerekend voor 36 mana, ik miste alleen wel dat 4*19 niet 36 is, maar 76. Iets met vrijdag ofzo. Maakt het niet moeilijker, alleen wat meer werk. Het mooie is: voor het eindantwoord is dit absoluut gigantisch verwaarloosbaar. Als je zelf nog wil puzzelen of hoofdpijn/huiduitslag krijgt van wiskunde, lees dan niet verder! In vakjargon is dit een schoolvoorbeeld van een Markov-keten (niet Sorin of Edgar...) en als je weet wat dat is en je hebt er ooit eerder mee gewerkt, zal je dit probleem ongetwijfeld kunnen oplossen. Voor de niet zó sterk wiskundig onderbouwden: hier een uitwerking in middelbare school-taal.

Ik maak 75 variabelen: x_1, x_2, ..., x_76. x_76 staat voor de kans dat ik win als ik 76 mana heb, dus

x_76 = 1.

Verder geldt voor x_n, met n=2,3,...,75, dat ik kans 0.75 heb om een mana meer te maken en 0.25 om een mana te verliezen. Dus

x_n = 0.75 x_(n+1) + 0.25 x_(n-1). (Merk op: dit zijn dus 74 vergelijkingen!)

En als laatste geldt:

x_1 = 0.75 x_2.

Nu heb je 76 vergelijkingen in 76 onbekenden, en dat is op te lossen... Fijn. Als we dit hebben opgelost, is x_1 het eindantwoord

Door in x_2 = 0.25 x_3 + 0.25 x_1 in te vullen dat x_1 = 0.75 x_2, krijg je x_2 = x_3 / 4 + 3 x_2 / 16, en dat kan je uitwerken tot de vorm x_2 = c_2 x_3, met c_2 een of ander getal waar we later beter naar kijken.

Op dezelfde manier kan je x_3 = c_3 x_4, x_4 = c_4 x_5, etc. Hieruit volgt dat x_1 = c_1 * c_2 * c_3 * ... * c_75 * x_76, met c_1 = 0.75. We zoeken dus een mooie vergelijking voor c_n.

Omdat x_(n-1) = c_(n-1) x_n en x_n = 3 x_(n+1)/4 + x_(n-1)/4, krijg je x_n = 3 x_(n+1)/4 + c_(n-1) x_n/4, dus x_n (1 - c_(n-1)/4) = 3 x_(n+1)/4 en dus x_n = 3/(4 - c_(n-1)) x_(n+1) = c_n x_(n+1). We weten nu dat:

c_n = 3/(4 - c_(n-1)) met c_1 = 3/4. Een niet-lineaire recurrentievergelijking. Fijn. Ik had geen flauw idee hoe ik hier een directe formule uit moest halen (en het internet ook niet...) dus ik ben naar WolframAlfa gegaan en die gaf me dat c_n = 1 - 2/(3^(n+1) - 1). Bewijzen dat dat klopt, is prima te doen met inductie. (c_1 = 1 - 2/8 = 3/4, en met de recurrentievergelijking volgt ook de directe formule heel snel uit de inductiehypothese)

Dus we willen weten: wat is (1 - 2/(3^2 - 1))(1 - 2/(3^3 - 1))(1 - 2/(3^4 - 1))...(1 - 2/(3^76 - 1))? Ook dat heb ik aan WolframAlfa gevraagd... En er kwam een heel mooi, correct antwoord uit van 2/3... + een ONGELOOFLIJK klein getal. Pas na iets van 40 cijfers achter de komma wijkt dit getal af van 2/3. Ik had hem oorspronkelijk uitgerekend voor 36 mana in plaats van 76, en daar zag ik hetzelfde fenomeen: 2/3 + 1/225biljoen. Ik loog niet toen ik zei dat het verschil verwaarloosbaar was

Het eindantwoord is dus praktisch 2/3. Voor meer mana dan 76, komt de kans dichter en dichter bij 2/3 te liggen, maar dit convergeert er heel hard naartoe. Kortom: ook als je 9001 mana zou moeten maken, lukt dat met 2/3 kans.

Sidenote: Hier neem ik wel aan dat het altijd de juiste keus is om Mana Screw te activeren in plaats van Walking Ballista, omdat dat vanaf 5 mana al een bijna 100% winkans geeft, in plaats van een 66% winkans met een iets grotere Ballista.

Natuurlijk, na de eerste keer mag je inderdaad een coinflip verliezen. Dan zal het nog wel te doen zijn.

Ik kwam bij 75 omdat je 75 coinflip moet winnen om 76 mana te krijgen. Maar je moet dus 75x vaker de coinflip winnen dan verzinnen verliezen.

Het is inderdaad minder, maar het is volgens mij best ingewikkeld om het goed te berekenen.

Je hebt sowieso maximaal 0,75 kans dat het lukt, want als je de allereerste coinflip verliest, dan is het klaar. Maar als je wint, mag je het tweemaal opnieuw proberen, plus dat je sowieso mana produceert waarvoor je kunt kiezen om deze niet in de coinflip te stoppen maar in de Ballista. Je moet in ieder geval 4 x 19 = 76 mana produceren. Mijn hoofd wordt hier moe van, dus ik ga het bij deze alvast opgeven .

Klopt dat? Als ik de eerste win, heb ik 2 mana. Dan kan ik prima een keer verliezen en nog doorgaan. En hoe kom je aan 75? Volgens mij hoef je minder mana te maken hoor

Als je zoveel geluk hebt zou ik je aanraden een staatslot te kopen. 0,75^75 is namelijk bijzonder weinig

Leuke puzzel. Je hebt Mana Screw, Krark's Thumb, een Walking Ballista met 1 +1/+1 counter en een enkele Wastes in het spel en je tegenstander staat op 20. Wat is de kans dat je de game wint?